Concepções de Números dos alunos da Licenciatura em Matemática da Uems



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CONCEPÇÕES DE NÚMEROS DOS ALUNOS DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA UEMS

José Felice

Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul

Jfelice2@hotmail.com

INTRODUÇÃO


Dentro do esquema de organização dos trabalhos de formação de docentes no Curso de Licenciatura em Matemática, na Prática de Ensino e no Estágio, procuramos desenvolver estudos que permita aos acadêmicos assimilar metodologias coerentes com o que se sabe, atualmente, sobre o desenvolvimento do indivíduo e a psicologia da aprendizagem.

Um dos assuntos que nos parece fundamental dessas experiências, é o trabalho mental dos alunos durante a aprendizagem. A pedagogia moderna insiste em que aprender deve ser um meio para levar o sujeito a pensar, a participar da formulação e solução de problemas da vida diária e estimular a descoberta que lhe enriquecerão o sentido crítico e o pensamento criador que possa incluí-la na complexa vida em sociedade.

Estudar o comportamento dos alunos, que ingressam e os que terminam a Licenciatura em Matemática-UEMS motivaram a pesquisa sobre as imagens conceituais, relacionadas ao conjunto dos Números Reais. O objetivo da pesquisa era levantar os conhecimentos prévios e espontâneos, advindos preferencialmente da Educação Básica, em alunos ingressantes no curso diante do conhecimento matemático histórico-epstemológico sobre os números reais, e observar as transformações desses conhecimentos em alunos do último ano do mesmo curso.

O projeto de pesquisa tinha o intuito de construir uma nova abordagem para o estudo dos sistemas numéricos na Licenciatura em Matemática - UEMS. A nova abordagem deveria construir-se de uma superação tanto da abordagem formal axiomática dos Cursos de Análise como daquelas encontrada nos textos didáticos escolares utilizados pelos professores de Matemática no Ensino Básico.

Os dados revelaram que embora os alunos do último ano do curso descreveram de modo mais consistente, do ponto de vista matemático, as relações entre os conjuntos numéricos. No entanto, a falta de uma boa justificativa para a existência de números racionais e não racionais mostrou que eles continuam sem conhecer os fundamentos históricos e epistemológicos do conceito de números Reais.

A insensibilidade pelos dados da pesquisa causou poucas mudanças na forma de abordar o estudo dos números Reais (racionais e irracionais) pelos professores do curso, principalmente nas disciplinas de Teorias dos Números e de Análise. No entanto, acreditamos que, conteúdos como, a forma axiomática formulada por Peano e Dedekind datadas de 1888 e 1891, os axiomas da geometria euclidiana, entre os quais o da continuidade, abrigados nas ementas das disciplinas acima citadas, não tem sido compreendido o suficiente para a conceituação dos conjuntos numéricos. Por outro lado, a pesquisa contribuiu com projetos de Extensão na Formação Continuada de Professores e esta servindo de subsídios nos estudos da disciplina de Didática e Metodologia do Ensino da Matemática do Curso de Especialização em Educação Matemática oferecido pela UEMS.

Os dados obtidos despertaram o interesse em buscar explicações sobre as “precárias” respostas e justificativas apresentadas pelos alunos do curso, diante das questões objetivas e subjetivas que lhes foram aplicadas sobre números e os fundamentos teóricos e a análise que apresentaremos, estão relacionadas ao campo de estudos da Educação Matemática. Desta forma, a análise dos dados esta voltada para o que se estuda de números no Ensino Básico.

Para dar direcionamento aos estudos sobre os dados da pesquisa, levantamos duas hipóteses: a primeira esta relacionada com o estudo dos conjuntos numéricos distante da realidade que eles representam; a segunda, diz respeito à organização linear dos conteúdos onde são desprezadas as conexões entre números, geometria e medidas.

Acreditamos ser necessário um aprofundamento nos estudos sobre as hipóteses levantadas, no entanto, a “riqueza” dos dados obtidos fornece pistas importantes para a análise que faremos.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS


Estudar números faz parte da vida estudantil em todas as matérias existente na escola, assim como, nas ações cotidianas de qualquer indivíduo, desta forma, a idéia de números existe independente de estarmos na escola. No entanto, a proeza de se chegar ao conceito de números cabe a aqueles que se dedicam ao estudo da disciplina Matemática.

Para se chegar ao conceito de números é preciso vivenciar ações que nos leve à compreensão das palavras numéricas que falamos e escrevemos.

Assim podemos encontrar explicações, como:
Uma parte importante da Matemática é consagrada ao estudo dos números. Os números não têm existência concreta como os objetos que vemos ao nosso redor. Os números são propriedades, precisamente como o são as cores, as formas, as dimensões, etc. O número é uma propriedade que se refere às coleções, aos conjuntos de objetos. Nenhum objeto pode ter a propriedade “dois”. Mas um conjunto de objetos pode ter a propriedade “dois”. Por isso é evidente que antes de estudar os números, precisamos estudar os conjuntos de objetos. É preciso ficar bem claro que os conjuntos se referem aos objetos e os números, aos conjuntos. ( Dienes-Golding, 1976, p. 1).
Estabelecer conjuntos, passa pela idéia de classificar, ou seja, reunir coisas que apresentem qualidade comum, fazer correspondência e saber ordenar. Isso dependerá das relações que o indivíduo puder estabelecer entre as coisas existentes em seu ambiente.

Para um dos mais antigos estudiosos do assunto, temos:


A operação de fazer corresponder baseia-se na idéia de correspondência que é, sem dúvida, uma das idéias basilares da Matemática. Por outras palavras podemos dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder, a cada objeto da coleção, um número da sucessão natural. (Caraça, 1989, p. 7).
A preocupação do autor com a questão da correspondência, na abordagem inicial do estudo de números, é tão importante, que o leva a afirmar que tal procedimento facilita a compreensão dos números racionais e irracionais nas séries mais avançada do Ensino Básico. Diz o autor “a correspondência é uma associação mental entre dois entes e exige que haja um antecedente (o objeto da coleção) e um conseqüente (o número). Desta forma, a experiência vivenciada dos resultados destas ações culmina com a formação dos conceitos de números.

Podemos destacar a importância dos conceitos, pois eles ultrapassam de muito as quatro paredes da sala de aula, e pode ser verificado a cada momento da vida diária. Todo professor deve ter consciência desse fato e do que ele significa.

Destacamos como aspectos capazes de salientar a prioridade que o assunto merece: o caráter de organização e seleção inerente aos conceitos; o papel dos conceitos na formação de atitude; a importância dos conceitos já adquiridos na experiência diária; a estreita relação entre os conceitos e a significação; o fato de serem os conceitos um meio de progredir a níveis mais abstratos do pensamento; e, finalmente, a conceituação como característica peculiar, exclusiva, do ser humano.

Outros aspectos que merece destaque na formação dos conceitos matemáticos são os fatos históricos. As palavras numéricas que falamos e escrevemos, muitas vezes informalmente, desde o século 19 deixou de se apoiar na intuição e seus alicerces passaram a ser investigados amplamente e a receber a fundamentação lógica necessária.

A forma intuitiva de números faz parte da história, mas não pode ser desconsiderada na construção numérica e nem desconectadas da elaboração dos conceitos dos conjuntos numéricos. Podemos citar como exemplo a evolução do pensamento dos povos egípcios, babilônios e os gregos que construíram um acervo matemático significativo. Para Domingues
A matemática dos egípcios e babilônios pouco passava de uma coleção de conclusões empíricas, era quase um receituário, não se cogitava os conceitos teóricos e muito menos de possíveis deduções lógicas. Outro ponto que obstava seriamente o desenvolvimento da Matemática desses povos era sua quase total ausência de abstração. Mas uma nova atitude em relação à Matemática teria lugar na Grécia Antiga, mais ou menos a partir do século VI a. C. Na verdade os gregos mudaram a relação do homem com o universo à medida que, embora sem desprezar totalmente a observação e a experimentação, passaram a adotar a razão como o grande instrumento na busca da verdade. (Domingues 1991, p. 7).

O que podemos notar historicamente, é que, o critério de verdade egípcio era ser útil e o critério grego era ser lógico. Assim o conhecimento egípcio se apoiava sobre suas atividades, usando um raciocínio de operações concretas. Já os conhecimentos gregos se apoiavam uns sobre os outros por deduções lógicas, usando um raciocínio de operações formais.

As idéias anteriores nos leva a acreditar que as ações contemporâneas de ensino e aprendizagem da Matemática devem estar recheadas de atividades significativas para se chegar ao rigor e a formalidade dos conceitos matemáticos.

Para Caraça (1989) a definição de um conjunto numérico, sejam eles envolvendo grandezas discretas ou contínuas, deve estar conectada a geometria e a medida. Desta forma, facilita a compreensão do significado dos números e com isso fazer as abstrações necessárias para a formalização lógica da conceituação desses conjuntos.

A idéia de conexões entre os conteúdos, encontrada na obra de Caraça, tem provocado eco nos estudos contemporâneos. Este fato tem, gerado muitas criticas à apresentação dos conteúdos já formalizados e as seqüências pré-determinadas dos conteúdos que para muitos estudiosos podem levar a construção do conhecimento matemático a linearidade. Para D´Ambrosio,
Implica uma prática educativa desinteressada e desinteressante, desinspirada, desnecessária, acrítica e na maioria das vezes equivocada. O tema é tratado por que deve ser tratado naquele instante, porque é necessário para o tema seguinte e assim se encaixa num encadeamento cuja justificativa é insustentável do ponto de vista da aprendizagem. (D´Ambrosio 1994, p.37).
A organização linear dos conteúdos, que se caracteriza numa sucessão de tópicos que devem ser apresentados numa certa ordem, tem conduzido os professores a uma prática educativa excessivamente rígida, no sentido de que aparentemente não lhes cabe alterar seqüências ou modificar procedimentos. Essa forma de perceber e organizar o processo educativo tem dificultado por em prática metodologias mais voltada para a apreensão e compreensão crescente da realidade e a compreensão dos conceitos matemáticos (Felice, 2002).

Os PCNs de Matemática no ensino fundamental (1988) e no Ensino Médio (1999), que se pautam em princípios decorrentes de estudos, pesquisas, práticas e debates desenvolvidos nos últimos anos, são bastante claros quando apresentam a importância da Matemática no Ensino Básico, do que decore sua proposta de organização curricular:


A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado: aprender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim o tratamento dos conteúdos em compartimento estanques e uma rígida sucessão linear devem dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos. (p. 19, 20)
De posse dos estudos aqui levantados, fizemos a análise dos dados que foram coletados através de questões objetivas onde os alunos tinham que responder diretamente, e questões subjetivas onde os alunos deveriam justificar fazendo explicações sobre o que estava sendo perguntado. As questões estavam relacionadas com o conceito de números Reais que envolvem as definições mais importantes, tais como, números Racionais e Irracionais.
DESCRIÇÕES DOS DADOS
A pesquisa foi realizada em 2004 e 2005 e a coleta dos dados envolveu duas turmas de alunos da 1ª série com um total de 70 alunos e duas turmas de 4ª série com 30 alunos.

Quando as questões da pesquisa foram aplicadas os alunos iniciantes estavam estudando a revisão de funções como preparativas para o estudo de limites. Nesta fase, sabemos que a compreensão sobre números reais é de suma importância. Já os alunos da 4ª série estavam cursando Teoria dos Números e Análise, disciplinas que exigem muita competência e habilidade de abstração.



As Duas primeiras perguntas solicitavam que os alunos respondessem usando a linguagem matemática e justificassem a respostas. As perguntas eram: O que é um número racional? O que é um número irracional?

A resposta comum entre os alunos de 1º série foi que Racionais são números escritos na forma de fração atingindo 80% delas. Os 20% restantes responderam através da escrita matemática “Racional é o número na forma com q ”. Os 40% dos alunos da 4º série responderam que “Racional é o número na forma com a e b Z e b . Esta definição encontra-se nos livros de Ensino Básico e em apresentação inicial do curso de Cálculo, no entanto, não basta conhecer a definição é preciso compreende - lá para ter consolidado as características dos elementos dos conjuntos de números. Estamos chamando a atenção pelo fato de somente 10% dos alunos da 4º série terem negado que é um número Racional.

Quanto às respostas sobre números Irracionais, as duas turmas foram quase unânimes em dizer que eram números não Racionais. Porém 10% dos alunos procuraram uma justificativa dizendo que eram números decimais infinitos e 5% dos alunos da 4ª série responderam que eram números decimais infinitos e não periódicos.



A próxima questão solicitava que os alunos representassem geometricamente os números na reta numerada. Da 1ª série 30% dos alunos colocaram entre os números inteiros 1 e 2 e 60% deles disseram que o número 0,333... não pode ser representado na reta. Em relação ao número 0,333... surgiram respostas interessantes: “este número não tem fim” ou “não existe um lugar certo para ele na reta”.

Para a representação geométrica de , somente 30% dos alunos da 4ª série colocou-o entre os números inteiros 1 e 2 e surgiu resposta interessante como: “o número não tem forma certa” ou “não da para colocar na reta, porque tem um ponto invisível”.

Quando foi perguntado sobre a relação da fração com o número decimal 0,25 e a expressão 25%, 30% dos alunos da 1ª série responderam que não existia nenhuma relação entre eles e 70% concordaram que 0,25 e 25% tinham o mesmo valor.

Em outra questão, 60% dos alunos disseram que 0,333... não pode ser transformado em fração. No entanto, quando solicitamos que na fração dividissem o 1 pelo 3, acabaram concordando com = 0,333...

Os 50% do total de alunos concordaram quando apresentamos as igualdades 0,333... = , e 0,222... = , mas discordaram que 0,999... = = 1. Uma resposta chamou atenção: “0,999... pode ser , mas não pode ser 1”. O que se observa na opinião desses alunos é que as dízimas periódicas nem sempre podem ser frações ou números inteiros.

Quando perguntamos quem é maior ou , 90% responderam que é maior que , no entanto, quando perguntamos quem tem a maior medida, 60% dos alunos responderam que esses números não tinham medidas.

A próxima questão foi apresentada na forma de um problema: “Calcule a diagonal de um quadrado de lado medindo 1 cm e represente a medida da diagonal na reta numerada. Todos fizeram a aplicação do teorema de Pitágoras corretamente e encontraram , no entanto, não conseguiram dizer sobre a representação da medida do número na reta numerada. Algumas respostas foram interessantes: “este número não tem medida”; “o valor é aproximado e não tem medida”; “não tem forma certa nem medida”; “não tem raiz e nem medida”; “tem um ponto invisível na reta, então não pode ser medido”.

Quando foi perguntado sobre o número π, 80% dos alunos responderam que esse seria um número irracional. Algumas respostas mostravam valor 3,14... e outros disseram “sendo a parte decimal infinita era irracional”.



Na seqüência formulamos o problema: “ A razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro obtém . Isso levou um aluno a concluir que resultaria em um número racional. O que você diria a um aluno que lhe apresentasse tal conclusão?”

Do total dos alunos 85% disse que a conclusão estava correta, o restante, todos da 4ª série, relacionaram a razão com o número π e justificaram como sendo a razão um número irracional.

Quando finalmente perguntamos o que é um número real, a resposta comum foi “números reais são todos os números”,outras respostas chamaram atenção tais como: “a união dos racionais e irracionais”; “os reais são os racionais, pois, os irracionais não são reais”; “os reais são os inteiros e os racionais, os irracionais são infinitos e não podem ser reais”; “reais são todos os números que estão na reta, pois os intervalos entre dois números inteiros são preenchidos com racionais e entre dois racionais, como não pode ficar vazio, então os números que preenchem esse intervalos são os números irracionais”.


CONSIDERAÇÕES SOBRE OS DADOS
Os resultados apontam para a hipótese de que as “imagens” presentes no conhecimento dos alunos ingressantes na Licenciatura em Matemática, com respeito aos números racionais e irracionais são fragmentadas e desperta a suspeita de que o tema foi tratado no decorrer do Ensino Básico de forma isolada.

Da mesma forma encontramos vestígio de que além da fragilidade na conceituação dos conjuntos numéricos, existe um distanciamento daquilo que os alunos conseguem lembrar com os significados que realmente eles representam.

Por outro lado, os alunos da última série do curso não tiveram desempenho animador, apresentando as mesmas dificuldades, porém com justificativas mais consistentes.

A dificuldade em relacionar um número com o conjunto que pertencem, a falta de conhecimento sobre a relação entre os conjuntos podem gerar problemas nos estudos nas diversas disciplinas do curso cujos conteúdos exigem um grau elevado de abstração.

O desconhecimento das articulações entre os conteúdos e a falta de significação dos temas estudados pode dar ao aluno e futuro professor de matemática, certo desconforto quando perguntado sobre para que serve o que ele estuda.

Não temos dúvidas, que o tema abordado na pesquisa representa a ponta de um iceberg1. O fato é que os alunos que ingressam na licenciatura podem estar com dificuldades na compreensão dos conceitos de matemática de um modo geral e mais grave ainda saindo do curso carregando muitas dúvidas sobre os conteúdos estudados e que no futuro irão ministrar.


BIBLIOGRAFIA


BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental.

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