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1a – O campo aditivo

Ao tomar por foco de estudo o conteúdo matemático de adição e subtração, logo nos vem à lembrança aqueles alunos querendo saber se o probleminha é de mais ou de menos. Será que os alunos têm preguiça de pensar ou será que eles não compreenderam bem qual o conceito de adicionar e subtrair?

A adição é a operação mais natural na vida da criança, porque está presente nas experiências infantis desde muito cedo. Além disso, envolve apenas um tipo de situação, a de “juntar” (ou “acrescentar”), que é afetivamente prazerosa (quem não gosta de juntar, ganhar ou colecionar coisas?). (TOLEDO, 1997, p. 101)

Vergnaud (1999 apud Rufino e Feliciano, 2010) nos ajuda a pensar melhor sobre essa questão ao falar da teoria dos campos conceituais. Tal teoria se refere a uma concepção de crescimento ao dar ênfase que “não é em alguns dias ou em algumas semanas que uma criança adquire uma competência nova ou compreende um conceito novo, mas, sim, ao longo de vários anos de escola e de experiência” (VERGNAUD, 2011, p. 16).


Para Vergnaud apud Berton (2009, p.14) campo conceitual é “um conjunto de problemas e situações cuja análise e tratamento requerem vários conceitos, procedimentos e representações simbólicas, os quais se encontram em estreita conexão uns com os outros”. Levando em consideração que as crianças, segundo Santana (2010, p.28), normalmente “constroem um campo conceitual através da experiência na vida e na escola, o domínio de um campo envolve momentos que estão, também, fora do contexto escolar”, podemos entender que a teoria dos campos conceituais de Vergnaud (apud Grossi, 2008) nos ajuda a compreender justamente como as crianças aprendem e constroem os conhecimentos matemáticos.
Vergnaud (1983, p. 393), se apoia em três principais pontos que o levaram ao conceito de campo conceitual:
1) um conceito não se forma dentro de um só tipo de situação;

2) uma situação não se analisa com um só conceito;

3) a construção e apropriação de todas as propriedades de um conceito ou de todos os aspectos de uma situação é um processo de muito fôlego que se estende ao longo dos anos, às vezes uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre concepções, entre procedimentos, entre significantes.
Nesse sentido, é deixado claro que estudar as coisas isoladamente é um grande erro, pois, precisamos sempre nos remeter a algo que já foi visto e assim sucessivamente, além de as crianças perceberem que diferentes problemas podem ser solucionados pelo uso de uma mesma operação. O que a teoria dos campos conceituais proposta nos apresenta é que a adição e a subtração são integrantes do mesmo campo conceitual, no caso, das estruturas aditivas e irá nos permitir, então, entender um pouco melhor como a criança aprende conceitos referentes às operações de adição e subtração, que são operações básicas e que devem ser ensinadas não como mera tarefa, mas sim, no sentido de situação didática.
O campo aditivo se divide em cinco classes segundo Vergnaud apud Costa (2009):
■ Transformação – Alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou negativa que interfere no resultado final;

■ Combinação de medidas – Junção de conjuntos de quantidades preestabelecidas;

■ Comparação – Confronto de duas quantidades para achar a diferença;

■ Composição de transformações – Alterações sucessivas do estado inicial;

■ Estados relativos – Transformação de um estado relativo em outro estado relativo (essa categoria não é abordada nos Parâmetros Curriculares Nacionais de 1ª a 4ª série por ser de maior complexidade e, por isso, não trataremos de problemas referentes a ela).

Sendo assim, ele nos sugere pensar a adição e a subtração sob o enfoque do campo aditivo, que estimula o aluno a pensar na complexidade da adição e da subtração e a compreendê-las como operações complementares e não opostas, como estamos acostumados. Isso porque o desenvolvimento cognitivo e o aprendizado do conceito devem ser feitos juntos a fim de que o aluno consiga entender que é possível resolver a mesma situação-problema utilizando uma ou outra operação, já que há diversos caminhos que levam à resolução e estes devem ser valorizados. Ou seja, o professor não explora só os resultados e as técnicas, mas a atividade matemática como um todo onde, consequentemente, o saber matemático não será aprendido pelo aluno por mera reprodução/imitação.

Segundo os PCNs,
A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem. (BRASIL, 1997, p.105)
Em um estudo feito com alunos de 3º e 5º ano de escolas públicas das cidades de Olinda e Ipojuca, o resultado, retirado do artigo “Resolução de problemas do campo aditivo: comparando o desempenho de alunos do 3º e 5º ano do ensino fundamental” de Maria Betânia Evangelista e Paulo Marcos Ribeiro (2013) apontou que muitos alunos não entendem o que é pedido nos problemas e utilizam apenas a soma como tipo de operação ou trocam as operações necessárias para solucioná-los. Isso acontece porque a criança não tem total domínio daquele conceito e aquilo não faz sentido para ela já que a situação-problema não tem significação e, portanto, não é desafiadora. Os professores têm o hábito de trabalhar, isoladamente, as operações, o que acaba tornando o exercício desestimulador, automático e repetitivo, já que não faz o aluno pensar naquele problema e estabelecer conexões e já ir logo somando ou diminuindo ou então perguntar “é de mais ou de menos?”. E não é isso que desejamos. Desejamos o professor mediador, que olhe para a frente e estimule o potencial do aluno; que o auxilie e o oriente nas atividades, mas sem dar as respostas para aquele problema fazendo com que o aluno caminhe com seus próprios pés, desenvolva suas habilidades e vá avançando em seu próprio ritmo.
Paralelo a isto, Vergnaud (1999) defende a ideia de que um conceito não deve ser estudado “sozinho”, pois, um conceito só ganha sentido quando surge em distintas ocasiões já que o aluno deve construir a base para as relações com situações novas através das competências constituídas nas fases iniciais.
Por isso, os conceitos básicos de somar e subtrair são fundamentais para os demais conteúdos e conhecimentos matemáticos e devem ser ensinados de maneira cuidadosa. Qualquer ruído neste processo pode prejudicar o aluno, talvez para a vida inteira, já que as noções incompletas de qualquer conhecimento dificultam o seu desenvolvimento em etapas posteriores.

Vemos em nosso dia a dia que a compreensão e a interpretação de problemas matemáticos estão cada vez mais sendo um desafio para a maioria dos alunos já que eles não conseguem ver sentido naquela tarefa. “Os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos” (BRASIL, 1997, p. 32), ou seja, para a maioria dos alunos, resolver uma situação-problema é apenas aplicar algum método ensinado pelo(a) professor(a) sem uma real significação e sem estabelecer a reflexão e uma relação entre as operações elementares.


Em virtude disso, a mediação e a comunicação do professor com o aluno e vice-versa é fundamental para que o aluno reflita sobre o que está aprendendo além de ser importante o professor “ter clareza de suas próprias concepções sobre a matemática, uma vez que a prática em sala de aula, as escolhas pedagógicas, a definição de objetivos e conteúdos de ensino e as formas de avaliação estão intimamente ligadas a essas concepções” (BRASIL, 1997, p. 29).


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