Integrais duplas parte I



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ATIVIDADE ESTRUTURADA CÁLCULO IV

INTEGRAIS DUPLAS PARTE I

Durante toda a história da humanidade os seres humanos buscam meios para desenvolver o seu desenvolvimento científico, uma das maiores descobertas foi a do cálculo diferencial e integral criado por Newton e Leibniz. Com esta descoberta surgiram várias ferramentas que contribuíram e muito para solucionar problemas do nosso dia-a-dia que até então não possuíam respostas. Entre essas ferramentas podemos destacar a integral dupla que surge a partir da extensão dos conceitos e propriedades de integral simples. No entanto, para muitos matemáticos essa ferramenta apresenta um alto grau de complexidade e acaba sendo rotulada como inútil. Utilizando-se da integral dupla vários problemas geométricos foram solucionados, entre eles verificamos problemas de áreas e volumes. Também a Física recebeu contribuição da integral dupla , possibilitando a solução de problemas de massa, centro de massa, momento de inércia, entre outros. Vale, portanto, ressaltar que ao contrário do que pensam as integrais duplas podem ser utilizadas de modo prático e funcional no cotidiano e não representa algo tão complexo.

De acordo com Howard Eves o século XVII foi muito produtivo para a matemática, pois neste século surgiram novas áreas de pesquisas que abriram as portas para grandes descobertas. Dentre essas descobertas , destaca-se na opinião de muitos como a mais notável, a invenção do cálculo, por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Esta descoberta elevou a matemática a um plano superior e possibilitou a solução de diversos problemas que ainda persistiam sem respostas. Em princípio o cálculo era ramificado em duas áreas distintas, o cálculo integral e o cálculo diferencial, ambos um independente do outro.

Historicamente o surgimento do cálculo aconteceu de uma forma diferente: primeiro surgiu o cálculo integral que teve origem através de somatórios ligados ao cálculo de áreas, volumes e comprimentos. Em seguida o cálculo diferencial que resultou de problemas sobre tangentes e questões de máximos e mínimos. Posteriormente verificou-se que o cálculo diferencial e o cálculo integral estão diretamente relacionados entre si, concluiu-se que a integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra.

Historicamente esses estudos iniciaram-se com Isac Newton por volta de 1665 quando começou os seus estudos sobre séries infinitas e taxa de variação, pouco tempo depois ele começou a ligar esses dois problemas em busca de uma solução. Durante boa parte de 1665-1666, o Trinity College foi fechado e Newton foi para casa, onde se ocupou simplesmente em viver e pensar. Neste interim ele realizou quatro das maiores descobertas da sua vida: o teorema binomial, o cálculo, a lei da gravitação, a natureza das cores. O teorema binomial e o seu estudo de séries infinitas foram ferramentas imprescindíveis para que Isaac Newton desenvolvesse o cálculo.

O cálculo de Newton apresentava-se muito complexo, pois poucos matemáticos da época dominaram a nova análise nos termos de linguagem e notação criada por ele. Sabe-se também que ele não foi o primeiro matemático a diferenciar ou integrar e nem a ver a relação entre essas operações no teorema fundamental do cálculo, mas ele foi o primeiro a constituir uma aplicação desses elementos num algoritmo geral aplicável a todas as funções.

Além de Newton o barão Gottfried Wilhelm Leibniz que nasceu em Leipzig, na Alemanha em também pesquisou o cálculo. Diferentemente de Isaac Newton, Leibniz não começou seus estudos pela matemática, ele 9 preferiu estudar direito na Universidade de Leipzig no período de 1661 a 1666. Nesta fase adquiriu muito conhecimento estudando as obras de diversos filósofos. Após concluir o curso de direito Leibniz se deu início aos seus estudos matemáticos em Jena e saiu em viagem pela Alemanha buscando conhecimentos e soluções para questões políticas, religiosas e matemáticas.

Em 1676, Leibniz já havia começado a desenvolver o seu cálculo e tinha descoberto o teorema fundamental do cálculo, que só foi publicado em 11 de julho de 1677, aproximadamente dez anos depois da descoberta não publicada por Newton. Entre 1677 a 1704, o cálculo leibniziano foi desenvolvido como uma real força e de grande aplicabilidade, enquanto o cálculo de Newton continuava uma curiosidade não procurada pelos matemáticos da época.

Porém em 1726 em uma nova publicação, após uma grande disputa entre ele e Leibniz pela a autoria do cálculo, ele omite a referência ao cálculo de Leibniz. Atualmente está bastante claro que ambas as descobertas foram independentes e que a de Leibniz aconteceu dez anos após a descoberta de Newton. Contudo, Leibniz tem prioridade de publicação, pois imprimiu uma exposição do seu cálculo em 1684.

Anos mais tarde Newton e Leibniz algebrizam o cálculo diferencial, introduzindo vários conceitos e notações, o que possibilitou a sua utilização em diversas áreas do conhecimento trazendo um grande desenvolvimento e soluções para problemas que até então não possuíam respostas.

Outros matemáticos também contribuíram para o desenvolvimento do cálculo integral, entre eles podemos destacar Fermat e Joham Bernoulli.

Para Newton o cálculo era mais geométrico, já para Leibniz o cálculo era mais analítico. O nome de cálculo integral foi criado por Joham Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão Jacques Bernoulli.

Hoje em dia o cálculo integral é utilizado em larga escala pelo ser humano em diversas áreas do conhecimento e é aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina e Química.

De acordo com Flemming e Gonçalves a integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para funções de duas variáveis reais. Essa extensão é obtida através da expansão da soma Riemann de uma variável real, para duas variáveis reais. Note que quando realizamos esta expansão, estamos mudando o conjunto de integração. Quando integramos uma função de uma variável real, através do cálculo de uma integral simples, exigimos que a função seja definida em um intervalo fechado no conjunto R dos números reais. Já quando integramos uma integral dupla exigimos que ela seja definida numa região fechada do R².

Seja f uma função definida numa região retangular fechada D. O número L será o limite das somas da forma ∑(n a i=1)𝑓(𝜉𝑖, 𝛾𝑖 𝑛 𝑖=1 )𝛥𝑖𝐴

se L satisfazer a propriedade de que para todo 𝜖 > 0 existe δ > 0, tal que para toda partição 𝛥, para qual 𝛥 < δ e para todas as possíveis seleções do ponto (𝜉i,𝛾i) no i-ésimo retângulo i = 1, 2, ... , n, 13 ∑(n a l =1)𝑓(𝜉𝑖, 𝛾𝑖 𝑛 𝑖=1 )𝛥𝑖𝐴 − 𝐿 < 𝜖

Se tal número L existir, escrevemos lim 𝛥 →0 ∑(n a l=1)𝑓(𝜉𝑖, 𝛾𝑖𝑛 𝑖=1 )𝛥𝑖𝐴 = 𝐿



Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas.

por exemplo, o volume do paralelepípedo de lados 4, 5 e 6 pode ser calculado usando:



da função  na região D no plano xy que forma a base do paralelepípedo.



  • A integral tripla

da função constante unitária sendo D o próprio paralelepípedo.



Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples. Essas têm que ser resolvidas da direita para a esquerda considerando as outras variáveis como constantes (o mesmo procedimento adotado para o cálculo de derivadas parciais).



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