Construção do conhecimento na Matemática Superior



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A questão da igualdade

Ao trabalhar limites, também é possível identificar dificuldades. A igualdade existente em apresenta características diferentes, pois, dependendo do caso, o valor L pode ser atingido pela função f, mas não necessariamente. Comparando com os contextos em que o sinal “=” foi sempre utilizado na Escola Básica, não é de se estranhar a dificuldade conceitual imediata com a qual os alunos se defrontam.

Artigue, um dos expoentes da Didática francesa, já identificava que

(…) high school and the university develop profoundly different relationships for common mathematical objects, for example, those of calculus – limits, derivatives, and so on. For this reason university teachers encounter serious difficulties in bringing out the knowledge of the students and are lead to the impression that the students know nothing. (Artigue, 1999)4

Uma outra situação que causa certo espanto entre os professores, refere-se à igualdade entre duas expressões. Para o professor, a igualdade é uma relação de equivalência, sendo portanto válida a propriedade simétrica, ou seja, se A=B então B=A e reciprocamente.



Para o aluno, desde muito cedo, o conceito de igualdade é manipulado em diferentes contextos. Entretanto, nas costumeiras questões do tipo, “calcule”, “efetue”, “resolva”, “simplifique”, o sinal de igualdade relaciona uma quantidade A com uma quantidade B, sempre lida da esquerda para a direita, segundo o modelo das línguas ocidentais. De fato, pensando em termos da Língua Materna, a expressão A tem função sintática de sujeito, enquanto que B tem a função de predicativo do sujeito. Como bem alerta Bardini, em sua tese de doutorado, na Arithmetica Integra (1544) de Stiefel, a igualdade ocupa o papel central e a sua interpretação no registro retórico põe em evidência uma certa assimetria. Existe um atributo a um sujeito.

Já no registro simbólico, o sinal que acabou prevalecendo historicamente foi o proposto por Recorde (1510-1558) “========”, justificado por ele com a afirmação: “Nada é mais parecido do que dois traços paralelos à linha de escrita”. Esse sinal não foi adotado por exemplo por Descartes (1637), que preferia o “laço” , que mantém a idéia de orientação para a igualdade. Essa disputa entre os dois símbolos não está contemplada na simbologia atual, pois a igualdade é interpretada em termos de relação de equivalência, com as propriedades de: reflexividade, simetria e transitividade.

Voltando ao filósofo chinês,



um atributo deve ser atribuído a uma substância, de modo que a idéia de substância é absolutamente indispensável ao pensamento, assim como o sujeito é absolutamente indispensável à linguagem. Por isso, na história da Filosofia ocidental, por mais diferentes que possam ser os argumentos, favoráveis ou contrários à idéia substância, o que constitui o problema central é essa mesma idéia de substância. (Tung-Sun, p.180)

Entretanto, essas questões estão longe de serem assimiladas diretamente pelos alunos, como Bardini (2003) registra num diálogo em que um professor conversa com um aluno a respeito da expressão , que para os alunos não pode estar correta, já que não foi feita a conta relativa ao lado esquerdo da igualdade.

Dessa maneira, a dificuldade dos estudantes, que pode ser observada desde uma fase mais ou menos inicial, precisa ser, senão entendida, pelo menos admitida e respeitada. Uma sentença matemática do tipo A=B, segundo a lógica intrínseca, deveria automaticamente significar que B=A: tal fato não é óbvio nem imediato para os estudantes.



Normalmente, ao propor para os alunos a resolução de uma equação simples como , é possível observar uma tendência generalizada em deixar a incógnita no primeiro membro, pois a resposta a ser fornecida “precisa ser x é igual a...”, respeitando a estrutura sujeito/atributo. Resolver a equação encontrando causa certo estranhamento entre os estudantes.

Ainda, de modo mais geral, sendo AA também não é automática, nem natural. Novamente, a estrutura da frase na Língua Materna constitui uma dificuldade para que os alunos consigam de modo natural “pensar ao contrário”.



Ocorre que o curso de Cálculo, porta de entrada para a Matemática de nível superior, apresenta aos alunos diversas situações em que têm que utilizar uma estratégia contrária à que normalmente utilizavam no Ensino Básico.

Na Escola Básica, a identidade é trabalhada e, em geral, os alunos chegam no curso de Cálculo, com essa questão incorporada, sem maiores problemas, naturalmente lida da esquerda para a direita. Assim, também é geral o fato de não serem capazes, com igual desenvoltura, de aplicá-la ao contrário, na forma . Não lhes parece natural, consideram que o professor está forçando a situação ou fazendo algum truque de mágica, ao escrever a expressão , com , na forma , a fim de construir o gráfico da função a partir daquele mais simples de , pensando em movimentos do plano como translações e reflexões. Duval entra aqui

É análoga a situação envolvendo a relação , largamente trabalhada no Ensino Médio. Em geral, os alunos conhecem tal relação, muitas vezes de modo apenas mnemônico, sem qualquer significado, mas dificilmente percebem que . Novamente, a estrutura lingüística impera.

Uma outra situação em que a estrutura lingüística da frase envolvendo o verbo de ligação ser gera perplexidade é o que ocorre em, por exemplo, o número e é irracional. Além disso, é do tipo irracional não-algébrico, ou seja, transcendente. Isso faz dele algo especial? Existem infinitos mais números irracionais que racionais. Existem infinitos mais números transcendentes que algébricos. O número e é do tipo de número mais comum que existe, muito embora esse fato não seja visível para os alunos, habituados que estão com o trabalho com os números inteiros ou quando muito racionais.



Ao dizer “o número e é um número transcendente”, o que significa esse “é”? O verbo ser, o que faz? Identifica? Atribui características? Explica?

Essas questões não são desprezíveis ao se pensar que o verbo ser vinha sempre sendo utilizado na igualdade, ligando duas quantidades iguais. Entretanto, em Matemática, o verbo ser muitas vezes pode significar “pertence a” ou “está contido em”. Por exemplo, “e é um número real” significa em linguagem matemática, .

Por outro lado, o que significa o sinal de igualdade “=” na expressão Na verdade, trata-se apenas de um valor aproximado do numero e, que as reticências ao final pretendem denotar. Esse fato necessita de um alerta específico, uma vez que as reticências, em geral, são utilizadas para indicar a repetição de determinado período numa dízima periódica. No caso o sinal “=” não significa uma igualdade!

Todo o trabalho com a determinação da função inversa em seu domínio ou em uma restrição, se encaixa obviamente na idéia do pensamento reverso.

Pensamos que a ida e a volta que caracterizam o pensamento reverso são um dos caminhos que precisam ser percorridos na busca da construção do significado em Cálculo. Nesse sentido, não se pode deixar de levar em conta a bagagem trazida pelo aluno, respeitando e buscando compreender suas dificuldades.

Essas questões permeiam os processos de ensino e aprendizagem da Matemática, particularmente da Matemática superior, sendo, portanto, necessário encontrar contextos típicos do ensino superior em que elas sejam significativas. Não se trata, portanto, de adiar ou esconder os problemas existentes no ensino de Cálculo, ou culpar em uma formação básica deficiente. É preciso encarar os problemas e ir adiante com a Matemática superior, sem ficar barrado nos primeiros obstáculos.

Voltando à perspectiva oriental,

Sem o padrão sujeito-predicado na estrutura da sentença, o chinês não desenvolveu a noção de lei de identidade na Lógica nem o conceito de substancia na Filosofia. E sem esses conceitos, não poderia haver noção de causalidade, nem de Ciência. O chinês desenvolve, em lugar disso, uma Lógica correlacional, um pensamento analógico e um raciocínio relacional que, apesar de inadequados para a Ciência, são extremamente úteis em teoria sociopolítica. É por isso que, primacialmente, a Filosofia chinesa é uma Filosofia de vida. (CHU, p.215)

Parafraseando a citação acima, a Matemática que se ensina/aprende, pode ser uma Matemática de vida?






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