Construção do conhecimento na Matemática Superior



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PENSAMENTO REVERSO NO ENSINO DE MATEMÁTICA

Antonio Carlos Brolezzi - brolezzi@ime.usp.br


Introdução

Entendemos por pensamento reverso aquele tipo de pensamento que está envolvido nos processos em que se parte de uma situação A para chegar a outra B e depois se parte da situação B para voltar à situação A. São exemplos as ações de fazer e desfazer, construir e desconstruir, e assim por diante. No caso específico da Matemática, utiliza-se o pensamento reverso nas operações inversas, como por exemplo, somar e subtrair, multiplicar e dividir.

A idéia de reversibilidade, como sendo a possibilidade de executar determinada ação em sentido contrário ao da ação original, está presente em Piaget de maneira incisiva e fundamental. De fato, para o filósofo psicogenético,

a lógica na criança apresenta-se essencialmente sob a forma de estruturas operatórias, ou seja, o ato lógico consiste essencialmente em operar e, portanto, em agir sobre as coisas ou sobre os outros. Mais ainda, uma operação é, com efeito, uma ação efetiva ou interiorizada, tornada reversível e coordenada a outras operações, numa estrutura de conjunto que comporta leis de totalidade. (Piaget, p.111)

Nesse sentido, Piaget destaca a reversibilidade como o principal critério do pensamento operatório, conseqüência direta do funcionamento de um sistema lógico total.

Na construção do conhecimento matemático, desde a fase das operações concretas, as noções de fazer e desfazer caminham juntas: para cada operação matemática, define-se a operação inversa, por meio de uma adequada ampliação do universo no qual se trabalha.

Por outro lado, na Língua Materna, a idéia de reversibilidade precisa levar em conta o esquema sujeito/atributo. Essa estrutura lingüística é típica das línguas ocidentais e tem relações com a filosofia e a lógica do Ocidente. Segundo Chang Tung-Sun,

(...) a Lógica aristotélica baseia-se na estrutura do sistema de linguagem ocidental. (...) O tipo tradicional de proposição “sujeito-predicado” não existe na Lógica chinesa. Assim sendo, na medida em que o objeto da Lógica está nas regras de raciocínio implícitas na linguagem, a expressão desse raciocínio deve ser implicitamente influenciada pela estrutura da linguagem, e as diferentes línguas terão formas de Lógica mais ou menos diferentes. (Tung-Sun, p.177)

De fato, na Língua Materna há problemas de lógica associados à idéia de reversibilidade, e que foram explorados mesmo por Lewis Carrol em Alice no país das maravilhas, como é possível observar no “diálogo à mesa de chá” 1.

Nesse caso, como bem podemos observar, está colocada a questão da implicação ou o sentido da sentença condicional: se A então B. O diálogo reproduzido acima mostra que, sendo essa implicação verdadeira, nem sempre se B então A, também o será. Essas questões estão presentes na Língua Materna bem como na Matemática. E mesmo no primeiro contexto o trânsito de uma implicação para a outra é feito com certa dificuldade pelos alunos, muitas vezes revelando confusões entre uma implicação e uma equivalência. Como alerta Machado,

Entre a Matemática e a Língua Materna existe uma relação de impregnação mútua. (...) É necessário reconhecer a essencialidade dessa impregnação e tê-la como fundamento para a proposição de ações que visem à superação das dificuldades com o ensino da Matemática. (Machado, p.10)

O senso comum atribui, quase que exclusivamente, à Matemática, uma característica de exatidão, por imaginar que as considerações realizadas em seu interior primam por serem exatas, definitivas e inquestionáveis. Para Calvino, no contexto da Língua Materna, a exatidão significa principalmente três coisas:



- um projeto de obra bem definido e calculado;

- a evocação de imagens visuais, nítidas, incisivas, memoráveis;

- uma linguagem que seja a mais precisa possível como léxico e em sua capacidade de traduzir as nuanças do pensamento e da imaginação. (Calvino, p. 71)

Também é sua a crítica feroz à situação em que se encontra, segundo ele, a comunicação entre os homens, onde a necessidade da exatidão se faz cada vez mais presente, no espaço de dimensões infinitas, sem limites. Quando Calvino mostra a necessidade de exatidão nos textos, ele o faz de maneira eloqüente e fundamental, esclarecendo que a expressão lingüística necessita dessa característica, propondo então a busca incessante e cuidadosa da melhor forma de traduzir o pensamento.



Às vezes me parece que uma epidemia pestilenta tenha atingido a humanidade inteira em sua faculdade mais característica, ou seja, no uso da palavra, consistindo essa peste da linguagem numa perda de força cognoscitiva e de imediaticidade, como um automatismo que tendesse a nivelar a expressão em fórmulas mais genéricas, anônimas, abstratas, a diluir os significados, a embotar os pontos expressivos, a extinguir toda centelha que crepite no encontro das palavras com novas circunstâncias. (Calvino, p. 72)

Dessa maneira, Calvino esclarece que a exatidão deve ser necessariamente uma característica da Língua Materna, muito embora seja possível observar as constantes imprecisões no discurso bem como no texto escrito, principalmente quando se trata da sala de aula. Quando a Língua Materna é usada para exprimir fatos no âmbito da Matemática a questão se agrava, pois, nesse contexto, a necessidade de precisão e rigor é mais imperiosa.

No campo da Matemática, entretanto, ao contrário do que reza o senso comum, embora haja diversas situações em que os cálculos são exatos, há inúmeras outras em que, para se chegar à resolução do problema proposto, o cálculo é simplesmente aproximado. Entretanto, em muitas atividades de sala de aula, bem como nas propostas existentes nos livros didáticos, é possível observar uma ênfase muito grande em colocações do tipo “calcule”, “efetue”, “resolva”, “simplifique”, objetivando a que o aluno, por meio de cálculos baseados nas propriedades dos conjuntos numéricos, chegue a um resultado “exato”. Dificilmente, são encontradas situações abertas, nas quais a ênfase se encontra nos processos investigativos, buscando a descoberta de problemas por parte dos alunos, para posterior resolução.

A Matemática, de modo geral, fica reduzida a um conjunto de problemas para serem resolvidos, por meio de uma coleção de propriedades, lamentavelmente transformadas em regras operatórias. A validade de tais técnicas operatórias não é, normalmente, investigada. A reversibilidade desses processos dificilmente é questionada.

A Matemática apresentada na Escola Básica, freqüentemente como um conjunto de regras e fórmulas, processos mecânicos de resolução de determinados tipos de problemas, questões fechadas, com pouquíssima, às vezes nenhuma investigação, acarreta uma postura passiva por parte dos estudantes. Em particular, diante dessas circunstâncias, a reversibilidade enfocada por Piaget muitas vezes se perde.

Na Universidade, porém, a Matemática adquire um caráter distinto. É cobrada dos alunos uma experiência anterior que eles em geral não têm. Os professores chegam à conclusão que aquilo que os alunos sabem de pouco vale para o aprendizado da Matemática em nível superior. Particularmente, as dificuldades apresentadas pelos alunos na manipulação de processos reversíveis muitas vezes são diagnosticadas pelos professores como ausência de pré-requisitos, causa importante do fracasso em disciplinas que envolvem matemática de nível superior.



Those involved in the teaching of first-year university mathematics are often rather dissatisfied with the weaknesses they perceive in their students. (...) They lament over the thinking and working habits of their students in mathematics, their lack of organization and of mathematical rigor, as well as their difficulty in acquiring and consolidating knowledge through personal work. (Guzmán et al., 1998)2

A exigência de pré-requisitos esbarra na questão da diversidade da natureza da Matemática no Ensino Superior. O que era exigido do aluno na Escola Básica era mais uma habilidade operacional da Matemática, e menos uma abordagem conceitual. Além disso, a própria natureza da Matemática muda na passagem para o Ensino Superior. Os resultados apresentados nas disciplinas de nível universitário são, em geral, resultados de motivações internas da própria construção matemática. Trata-se de uma nova cultura, em que as idéias prévias têm que ser necessariamente revistas.



Secondary school students often succeed in mathematics by relying on their ability to perform algorithms and in spite of a lack of real understanding of the mathematical concepts with which they are working. (Guzmán et al., 1998)3



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